Inicialmente
esclareço que a finalidade desta postagem é responder por que todo
número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um?. A importante
restrição diferente de zero não foi mencionada no título para
não estendê-lo demais.
Resposta rápida (e correta!): todo
número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um por definição.
Resposta legal: o que faremos a
seguir é justificar o motivo de definir tal potência como sendo igual a um.
Relembremos que quando estamos
falando de potências a expressão an quer representar um produto de n fatores iguais a a. Deste modo temos
o seguinte exemplo:
5³ quer representar um produto de 3 fatores iguais a 5:
5³ = 5.5.5
Como de costume: o a é chamado de base e o n é chamado de expoente. Portanto, na potência 26 a base é o número dois e o expoente é o númeroseis.
Relembremos agora a seguinte regrinha
(certamente bem conhecida de todo usuário e matemática):
am . an = am+n
Vejamos a regra acima sendo colocada
em prática:
32 . 33 = 32+3
De fato:
32 . 33 = 3.3 . 3.3.3 = 35 = 32+3
Um argumento bastante simples para
esta regra é o seguinte: em ambos os lados da igualdade temos um produto de m+n fatores iguais a a (convença-se
disto!!).
Observação importante: a definição de
potência, inicialmente, faz sentido apenas para quando o expoente é um número
natural não nulo, ou seja, o zero não entra na definição de expoente, afinal
não faz nenhum sentido falarmos em produto de zero fatores. Assim, na regrinha
acima, m e n são números
naturais diferentes de zero.
O ponto crucial é o seguinte: para definir
quanto vale a expressão a0 os matemáticos
desejam que a regra acima de repete a base soma os expoentes continue válida.
Esta é exatamente a
ideia que se deve seguir para escolher uma definição adequada. Ideia esta que,
inclusive, não ocorre apenas neste caso: estender o conceito de modo
que os resultados obtidos anteriormente continuem válidos.
No nosso caso o
“conceito” é o de potência (que, como já dissemos, a princípio faz sentido
apenas para números naturais não nulos), o “resultado anterior” é a regrinha
dos expoentes apresentada acima. E estamos querendo estender o conceito para
englobar o expoente zero.
Vejamos o que
acontece quando consideramos esta possibilidade:
Temos o seguinte
resultado, já validado:
am . an = am+n
Queremos que o zero possa ser
considerado um expoente, ou seja, queremos atribuir significado para a
expressão a0. Mas queremos
que a regra dos expoentes continue funcionando quando o expoente for zero, ou
seja, queremos que seja válida a igualdade seguinte:
a0 . an = a0+n
Felizmente sabemos
quanto vale a soma 0+n e portanto podemos
escrever:
a0 . an = an
Agora reflita: qual é o valor que deve ser atribuído ao termo a0 de modo que a
igualdade acima fique válida?
Observe que quando multiplicamos an por a0 não acontece
nada!
Ou seja, o número an permanece o mesmo. Logo a unica escolha possível é:
a0 = 1
Espero então que
tenha ficado claro que: defini-se a0 igual a um, pois é conveniente que assim seja, visto que fazendo
isso se estende o conceito para englobar mais casos sem perder a validade da
regra já conhecida.
Observação: no caso
em que a = 0 obtemos a expressão
indeterminada 00. O leitor interessado poderá encontrar uma interessante discussão a
este respeito na segunda referência (então fique atento, pois zero elevado a
zero NÃO é um!! Zero elevado a zero é indeterminado, não possui um valor que se
impõe naturalmente, vide referência para mais detalhes, contudo
nada o impede de defini-lo como sendo um (apesar de ser pouco comum)).
Procedendo de forma
parecida é possível estender o conceito de potência ainda mais, de modo
que a expressão a-m também tenha significado, ou seja, de modo a definir potência de
expoentes negativos.
Vejamos mais este
caso como exemplo de como funciona o procedimento de elaborar uma definição
conveniente (aqui, como no caso anterior, temos a diferente de zero). Novamente deve-se querer que a regra para expoentes
positivos não perca a validade:
am . an = am+n
Vejamos o que
acontece nesta regra quando aparece um expoente negativo (vamos escolher,
convenientemente, os expoentes como sendo m e -m):
am . a-m = am+(-m)
Retirando
os parênteses do expoente:
am . a-m = am-m
Sabemos quanto
vale m-m então podemos escrever:
am . a-m = a0
Mas já vimos quanto
vale uma potência de expoente nulo, então obtemos:
am . a-m = 1
Logo, a única escolha possível é:
Logo, a única escolha possível é:
a-m = 1/am
Resumindo: se quisermos estender o conceito de potência (de base não nula) de
modo que o expoente possa ser zero ou possa assumir valores inteiros negativos
sem que a igualdade am . an = am+n perca a validade as únicas definições possíveis, como visto, são:
a0 = 1
a-m = 1/am
Está, pois,
respondido por que todo número, diferente de zero, elevado a zero é
igual a um?: Porque se trata de uma definição conveniente que
preserva a validade de uma regra já conhecida (concordemos que seria muito
"chato" você ter que escolher uma regra diferente ou ficar impedido
de usar determinada regra para potências baseado no que aparece de expoente.
Então, fazendo definições com base neste princípio - de regras já
conhecidas permanecerem válidas - os matemáticos conseguem um maior
grau de generalidade, que é uma característica fundamental, e diga-se de
passagem muito apreciável, da matemática).
Que fique claro também que o que contém acima não é
uma demonstração, é, na verdade, uma justificativa para uma definição.
O que ocorre, infelizmente, é que nalgumas escolas nada disso é dito. Tudo é imposto como se fossem dogmas e os alunos não tem sequer um vislumbre do que consiste o pensamento matemático.
O que ocorre, infelizmente, é que nalgumas escolas nada disso é dito. Tudo é imposto como se fossem dogmas e os alunos não tem sequer um vislumbre do que consiste o pensamento matemático.
