Adição, Subtração e Multiplicação de Números Complexos

Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição


Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Subtração


Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2
(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Multiplicação


Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2
(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)I.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i²
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

Progressões

      Progressão Aritmética (PA)é todo seqüência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante, essa diferença constante é chamada de razão da progressão.

Sejam as seqüências: (2, 6, 10, 14, 18, 22, ...) (30, 25, 20, 15, 10, 5, ...) 6 = 2+ 4 25 = 30+ (-5)     10 = 6+ 4 20 = 25+ (-5)     14 = 10+ 4 15 = 20+ (-5)     18 = 14+ 4 10 = 15+ (-5)     - Notamos nessas seqüências que o termo posterior é igual ao termo anterior somado de um número fixo. - Toda seqüência que tiver lei de formação chama-se Progressão Aritmética (PA). - A esse número fixo damos o nome de razão (r). Representação matemática: (a1, a2, a3, a4, a5, ... an-1, an, an+1, ...) r = a2 ? a3 r = a3 ? a2  r = an ? an-1 r = an+1 ? an Classificação: Uma PA pode ser: a.      crescente: (r > 0) - (2, 4, 6, 8, 10, ...)_ r = 2 b.      decrescente: (r < 0) - (7, 5, 3, 1, -1, -3, ...)_ r = -2 c.      constante: (r = 0) - (9, 9, 9, 9, ...) ·         Fórmula do termo geral de uma PA: (a1, a2, a3, ....., an-1, an)       a2 = a1 + r        a3 = a2 + r = a1 + 2r       .....      an = a1 + (n-1)r      an = termo geral n = n-ésimo termo      a1 = primeiro termo      r  = razão

         Expressões Gerais:

1)      ?n-ésimo?número par positivo: a_n = 2n   (n > 1)

2)      ?n-ésimo número ímpar positivo: a_n = 2n ? 1   ( n > 1)

3)      soma dos ?n?primeiros números pares positivos ? PA = ( 2,4,6,...2n): Sn = n (n +1)

⁴⁾        soma dos ?n?primeiros números ímpares positivos ? PA = (1,3,5,...,2n-1): Sn = n²

5)      Três números em PA
x - r, x, x + r

6)      Cinco números em PA
x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r

7)      Quatro números em PA
x - 3r, x - r, x + r, x + 3r

·         Interpolação Aritmética:
Interpolar significa inserir, intercalar meios aritméticos entre 2 números, formando assim uma P.A. .
X , __ , __ , __ , Y
- Se interpolarmos n meios entre 2 números, iremos obter uma P.A. de n + 2 termos;

·         Propriedades da P.A.:

1.       Numa P.A. ao considerarmos 3 termos consecutivos, o termo médio é a média aritmética dos outros 2; a_n = a_n-1 + a_n-1  /  2 

2.       Numa P.A. finita, a soma dos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos;
a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 = a₃ + a_n-2 = ...

·         Soma dos termos de uma P.A. Finita:

Sn = (a₁ + a_n ) n / 2

Onde a₁ é o primeiro termo, an o último termo, n é o número de termos e Sn é a soma dos n termos.

 
 

Exemplos:

 
 

1)   Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

 
 

Resolução: Observamos que o primeiro termo da PA é 25 e o último é 620, daí:

 
 

a_n = a₁ + (n-1)r

620 = 25 + (n-1)5

n = 120

 
 

2)   Três números estão em PA, de tal forma qu a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular  os três números.

 
 

Indiquemos (a₁, a₂, a₃) = (x-r ,x ,x+r)

1º número =  x ? r

2º número =  x

3º número =  x + r

 
 

Façamos um sistema com duas variáveis (x e r):

• (x - r) + x + (x + r) = 18
  
• (x - r).x.(x + r) = 66
  

Daí, x = 6, r = ± 5

Fazendo r = 5 teríamos (1 , 6 , 11)

Fazendo r = -5 teríamos (11 , 6 , 1)

Os números pedidos são 1, 6 e 11.

 
 

3)   Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a razão seja 4?

 
 

Resolução:

a_n = a₁ + (n-1)r

124 = 100 +4n ?4

n = 7

 
 

Como 7 é o número total de termos, devemos interpolar 7 ? 2 = 5 meios.

Resposta: 5 meios

 
 

4)   Resolver a equação 1 + 7 + ... + x = 280, sabendo que os termos do 1 termo formam uma PA.

 
 

Resolução: Na PA temos

a₁ = 1

a_n = x

S_n = 280

r = 6

 
 

Calculemos n usando a forma geral:

a_n = a₁ + (n-1)r

x = 1 + (n-1)6

n = (x +5)/6

 
 

Vamos substituir na fórmula da soma

Sn = (a₁ + a_n ) n / 2

280= (1 + x ) (x + 5) (1/6) (1/2)

x² + 6x ? 3355 = 0

daí,

x´=55

x´´=-61

Como a PA é crescente, x = 55

Resposta x = {55}

Fantasia Para Adultos

Quem se lembra?

Esse Seria o Candidato Mussum

Animais Inteligentes

DOWNLOAD DE PROVAS DE VESTIBULARES -UFRN

Vestibular 2009
Vestibular 2008
Processo Seletivo 2007
Processo Seletivo Para Educação Superior a Distância 2007.1
Processo Seletivo 2006
Processo Seletivo Para Educação Superior a Distância 2006
Processo Seletivo 2005
Processo Seletivo Para Educação Superior a Distância 2005
Processo Seletivo 2004
Processo Seletivo 2003
Processo Seletivo 2002
Processo Seletivo 2001

Salvador Acorda Com Buzinaço e Recepção Festiva à Seleção Brasileira

O domingo começou cedo para os soteropolitanos. Às 6h30m, o avião fretado pela CBF pousou no aeroporto Luiz Eduardo Magalhães, em Salvador, e à espera da delegação, dezenas de torcedores ávidos por um autógrafo ou uma foto com os jogadores que classificaram o Brasil para mais uma Copa do Mundo. Menos de oito horas depois da vitória por 3 a 1 sobre a Argentina, em Rosário, os jogadores receberam as honrarias de heróis nacionais. No percurso até o hotel, a mini-carreata sonorizada por um buzinaço deu as boas-vindas para a partida contra o Chile, quarta-feira. Cansados, mas felizes, os atletas subiram rapidamente para os quartos e só devem ser acordados para o almoço, às 13h. Por enquanto, o treino dos reservas, às tarde, no estádio de Pituaçu está mantido. Na porta do hotel, no entanto, pelo menos 30 pessoas ainda aguardaram os ídolos. - Adriano, acorda. Vem me dar um abraço – gritou a torcedora Renata Gomes. Classificada com três rodadas de antecipação para o Mundial da África do Sul, em 2010, a seleção brasileira lidera as Eliminatórias com 30 pontos. No próximo jogo, o técnico Dunga terá o desfalque de quatro jogadores por suspensão: Lúcio, Ramires, Kaká e Luís Fabiano. Por ora, o quarteto continua concentrado com o restante do grupo.

P.G.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

     Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

    Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

 Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:   

a1	a2	a3	...	a20	...	an	...
a1	a1xq	a1xq2	...	a1xq19		a1xqn-1	...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

  Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

  Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

      A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

 
 

Soma dos n primeiros termos de uma PG

    Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n, vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n.q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n . q

Observe que a₂ + a₃ + ... + an é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a₁ = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

 

Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta  x = 50.

Desafio 21

Um homem tem dois relógios. Um deles não anda e o outro atrasa uma hora por dia. Qual deles mostrará mais freqüentemente a hora certa?

Solução Desafio 20

Depois de fumar 27 cigarros, Ana Carolina juntou os tocos de cigarro necessários para fazer 9 cigarros mais. Estes 9 cigarros deixaram tocos para fazer outros 3. Então com os utlimos 3 tocos de cigarro, fez um ultimo cigarro.
Total: 40 cigarros

Desafio 20

Ana Carolina é uma grande fumante, no entanto decidiu parar de fumar. "Acabarei com os vinte e sete cigarros que sobraram!", e ainda afirmou: "Jamais voltarei a fumar". Era costume da Ana Carolina fumar exatamente dois terços de cada cigarro. Não tardou muito em descobrir que com a ajuda de uma fita adesiva poderia juntar três tocos de cigarros e fazer outro cigarro. Com 27 cigarros, quantos pode fumar antes de abandonar o fumo para sempre?

Solução Desafio 19

Para o primeiro dígito temos 9 opções (não pode iniciar com zero).
Para o segundo e o terceiro dígito podemos aceitar qualquer número entre 0 e 9 (ou seja, temos 10 opções).
Para o quarto e o quinto dígito, só existe uma opção, já que eles devem ser iguais ao segundo e ao primeiro dígito, respectivamente.
ABCBA = 9 x 10 x 10 x 1 x 1 = 900
Existem 900 números palíndromos de 5 dígitos!

UERN ULTRAPASSA VÁRIAS UNIVERSIDADES ESTADUAIS DO NORDESTE NO ÍNDICE GERAL DE CURSOS - IGC

O Ministério da Educação (MEC) divulgou nesta segunda-feira, dia 31 de agosto, o Índice Geral de Cursos (IGC) - Indicador de qualidade de Instituições de Educação Superior. Entre as universidades estaduais do Nordeste, a Universidade do Estado do Rio Grande do Norte (UERN) aparece em situação privilegiada.O Rio Grande do Norte, através da UERN, representa o 2º estado melhor avaliado do Nordeste, ficando atrás apenas da Bahia. A UERN está à frente de três universidades do Ceará (UVA, UECE e URCA), uma da Paraíba (UEPB), uma do Maranhão (UEMA), uma do Piauí (UEPI), uma do Pernambuco (UPE) e duas de Alagoas (UNEAL e UNCISAL).A Universidade Estadual do Rio Grande do Norte - UERN - também está à frente de Universidades Federais de outras regiões como é o caso da Universidade Federal do Pará (UFPA), Fundação Universidade Federal do Tocantins (UFT), Universidade Federal Rural da Amazônia (UFRA), Universidade Federal do Amapá (UNIFAP), Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB), Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA) e Universidade Federal do Vale do São Francisco/PE (UNIVASF).Divulgado anualmente, o resultado final do IGC é expresso em valores contínuos (que vão de 0 a 500) e em faixas (de 1 a 5). Notas 1 e 2 são consideradas insatisfatórias. De acordo com o MEC, o IGC é um indicador de qualidade construído com base numa média ponderada das notas dos cursos de graduação e pós-graduação de cada instituição. Assim, sintetiza num único instrumento a qualidade de todos os cursos de graduação e pós-graduação da mesma instituição de ensino.

Sistema Métrico Decimal

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

 * Definição 

O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro. O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição. Deste os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de medidas. Cada um, desta forma, tinha seus próprios métodos de medição.

Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de informações entre os povos era confusa. Assim foi necessário que se adotasse um "sistema padrão" de medidas em suas respectivas grandezas. Então no ano de 1971,  um grupo de representantes de diversos países  reuniu-se para discutir a forma de adotar um sistema de medidas único que facilitasse a troca de informações entre os povos. Foi desenvolvido o sistema métrico decimal.

* O metro

O termo "metro" é oriundo da palavra grega "métron" e tem como significado "o que mede". Estabeleceu-se no princípio que a medida do "metro" seria a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado no de 1799 e hoje é baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo em um determinado período de tempo.

 * As primeiras medições

No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao homem moderno medir comprimentos. Porém nem sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de comprimentos? Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto à necessidade de contar. Quando o homem começou a construir suas habitações e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivência e desenvolvimento econômico, que se fazia necessário medir espaços, então houve ai a necessidade de se medir espaços.  Desta forma, para medir espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda são usadas até hoje, como é o caso da polegada.

Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o "cúbito", que é a distância do cotovelo a ponta do dedo médio. Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o "cúbito" variava de uma pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergência nos resultados finais de medidas. Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu adotar uma outra forma de medir o "cúbito", passaram então ao invés de usar seu próprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim deu-se origem então o "cúbito padrão". Como era impossível realizar  medições em extensões grandes, o povo egípcio então começou a usar cordas, para medir grandes áreas. Tinham nós que eram igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo entre estes nós, poderia medir "x" cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, originou-se o que chamamos hoje de "trena".

 * Múltiplos e submúltiplos do Metro

Como o metro é a unidade fundamental do comprimento, existem evidentemente os seus respectivos múltiplos e submúltiplos.

Os nomes pré-fixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo, hecto, deca, centi e mili.

 Veja o quadro:

 
 

Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar medição em pequenas distâncias. No caso de haver necessidade de fazer medições milimétricas, onde a precisão é fundamental, podem-se utilizar as seguintes medições:

  
 

No caso de haver necessidade de fazer medições astronômicas, pode-se utilizar a seguinte medição:

 
 

 Ano-Luz é a distância percorrida pela luz em um ano.

 * Nomes e funções de algumas medidas 

 

 * Leitura das Medidas de comprimento

Podemos efetuar a leitura corretas das medidas de comprimento com auxilio de um quadro chamado "quadro de unidades".

 Exemplo: Leia 16,072 m

 
 

Após ter colocado os respectivos valores dentro das unidades equivalentes, lê-se a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal com a unidade de medida o último algarismo.

 
 

 Veja outros exemplos de leitura: 

8,05 km = Lê-se assim: "Oito quilômetros e cinco decâmetros"

 
 

72,207 dam = Lê-se assim: "Setenta e dois decâmetros e duzentos e sete centímetros"

 0,004 m = Lê-se assim: "quatro milímetros"

 * Transformar unidades

Este é um item que é muito pedido em grande parte de concursos que exigem matemática, e é justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem comprometido seus resultados.

 Observe a tabela abaixo:

 
 

 Agora observe os exemplos de transformações

 1) Transforme 17,475hm em m

 
 

Para transformar hm (hectômetro) em m (metro) -  observe que são duas casas à direita -  multiplicamos por 100, ou seja, (10 x 10).

 17,475 x 100 = 1747,50

 Ou seja

 17,475 hm é = 1747,50m

 2) Transforme 2,462 dam em cm

 
 

Para transformar dam (Decâmetro) em cm (Centímetro) – observe que são três casas à direita – multiplicamos por 1000, ou seja, (10 x 10 x 10).

 2,462 x 1000 = 2462

 Ou seja

 
 

2,462dam é = 2462cm

 3) Transforme 186,8m em dam.

 
 

Para transformar m (metro) em dam (decâmetro) – observe que é uma casa à esquerda – dividimos por 10. 

186,8 ÷ 10 = 18,68

 Ou seja

 186,8m é = 18,68dam

 4) Transforme 864m em km.

 
 

Para transformar m (metro) em km (Kilômetro) – observe que são três casas à esquerda – dividimos por 1000.

 864 ÷ 1000 = 0,864

 Ou seja 

864m é = 0,864km

Obs. Os quadros das medidas foram colocados em cada operação repetidamente, de propósito, para que haja uma fixação, pois é fundamental conhecer "decoradamente" estas posições.

  

Desafio 19

Um número palíndromo é aquele que é igual quando lido de frente para trás e de trás para frente. Por exemplo, 171 é um número palíndromo. Existem 90 palíndromos de três dígitos. Quantos palíndromos de 5 dígitos existem?