Se isso ai for uma geladeira...

Desafio 23

Duas salas estão ligadas entre si por um corredor.

Na primeira sala existem três lâmpadas (a, b e c) que estão ligadas a três interruptores (1, 2 e 3) localizados na segunda sala. Como saber que interruptor corresponde a cada lâmpada tendo só uma oportunidade de passar de uma sala para a outra? Considere que não há maneira de espreitar de uma sala para a outra.

Viagem da Escola Zenilda Gama Para Macau

Veja as fotos da viagem

Professor Lázaro e alunos.

Professor Welitton matando a fome.

Professor Welitton e alunos, ao fundo montanhas de sal.

Professoras Maria, Márcia e Gidélia.

Professor Lázaro e alunos.

Professor Welitton e alunos, ao fundo montanhas de sal.

Solução Desafio 22

Basta mover o palito da direita, formando um quadrado no centro:

Nilmar dá show em Salvador e garante vitória brasileira sobre o Chile

Atacante do Villarreal-ESP marca três dos quatro gols brasileiros no estádio de Pìtuaçu. Mesmo com um a menos, seleção se impõe
Adilson Barros e Eduardo Peixoto Direto de Salvador
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Quem esperava que Adriano brilharia atuando no lugar do suspenso Luis Fabiano teve de bater palmas para Nilmar. Com três gols, o atacante do Villarreal-ESP garantiu a vitória do Brasil sobre o Chile por 4 a 2, nesta quarta-feira à noite, em Salvador, pelas eliminatórias da Copa de 2010. O ex-colorado atuou na vaga de Robinho, que se machucou contra a Argentina, sábado passado. O Imperador, após um primeiro tempo razoável, sumiu na etapa final. O Brasil jogou com um a menos desde os quatro minutos do segundo tempo, quando Felipe Melo foi expulso - o chileno Sanchez recebeu também o vermelho, só que aos 33, quando o placar já estava 4 a 2.


Nilmar lava a alma na chuva em Salvador: três gols contra o Chile
Para o Brasil, o resultado serviu apenas para confirmar sua hegemonia no futebol sul-americano. Já classificada para o Mundial da África do Sul, ano que vem, a seleção lidera as eliminatórias, com 33 pontos. O Chile ainda tem mais dois jogos para tentar sua vaga, e precisa de três pontos em seis que vai disputar.


Os chilenos pegam a Colômbia, fora, no dia 10 de outubro, e o Equador, em casa, dia 14. O Brasil encerra a sua participação contra a Bolívia, dia 10, fora, e Venezuela, dia 14, em Campo Grande (MS).

Brasil aperta, e defesa chilena entrega

O Chile começou o jogo abusado. Com uma formação ousada de três atacantes - Sanchez pela direita, Beausejour pela esquerda e Suazo centralizado - o time de Marcelo Bielsa se aproveitava de espaços entre a defesa e os volantes brasileiros, que iniciaram o jogo muito distantes. Nos cinco primeiros minutos, os chilenos rondaram perigosamente a área brasileira, sem, no entanto, conseguir arrematar a gol.

Definição de logarítmico

Os logaritmos foram criados por John Napier (1550-1617) e desenvolvidos por Henry Briggs (1531-1631); foram introduzidos no intuito de facilitar cálculos mais complexos. Através de suas definições podemos transformar multiplicações em adições, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões.
Dados dois números reais positivos a e b, onde a ≠ 1 e a > 1 e b > 0, existe somente um número real x, tal que a^x=b ou log_ab=x.
Temos:
a = base do logaritmo
b = logaritmando
x = logaritmo

O logaritmo de b na base a é o expoente que devemos atribuir ao número a para obter b.

Exemplos:
log₂4 = 2, pois 2² = 4

log₃27 = 3, pois 3³ = 27

log₁₂144 = 2, pois 12² = 144

Definições:

1ª propriedade – Logaritmo de 1 em qualquer base a é 0.

log_a1 = 0

log_a1 = x
a^x = 1 (a⁰ = 1)
x = 0

2º propriedade – O logaritmo da base, qualquer que seja a base, será 1.

log_aa = 1

log_aa = x
a^x = a
x = 1

3º propriedade

log_aa^m = m

log_aa^m = x
a^x = a^m

x = m

4º propriedade
log_ab = log_ac
log_ab = x → a^x = b
log_ac = x → a^x = c
b = c

5º propriedade

a^log_a^b= b

a^log_a^b= x
log_ab= a_x

log_ax = log_ab
x = b

Exemplos resolvidos:


Podemos aplicar as definições de logaritmos em situações que envolvam Matemática Financeira, Química (cálculo de acidez), Física (ondulatória), Medicina, Biologia e etc. 

Desafio 22

Mova apenas um dos palitos para formar um quadrado.

Solução Desafio 21

O relógio que não anda mostra a hora certa duas vezes ao dia. O que atrasa só mostra a hora certa de doze em doze dias, após haver atrasado 12 horas. Portanto o que não anda mostra a hora certa com maior freqüência

Câmara aprova PEC que cria mais de 7 mil vagas de vereadores no país

Com as galerias do plenário lotadas de suplentes de vereadores, a Câmara dos Deputados aprovou na sessão desta quarta-feira (9) a Proposta de Emenda à Constituição (PEC) 336/09 que aumenta em mais de 7 mil o número de vagas para vereadores em todo o país. Votaram a favor da proposta 370 deputados e, contra, 32 parlamentares. A aprovação da matéria, no entanto, não deve ter efeito retroativo às eleições de 2008. A PEC não determina que os suplentes ocupem as novas cadeiras, apenas estipula um novo limite de vagas nas câmaras municipais. O país tem atualmente 51.748 vagas de vereadores. Pelo critério da proposta, que distribui as vagas conforme o número de habitantes de cada município, a PEC deve criar 7.709 vagas, se considerado os dados populacionais do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) de 2009. O texto original da PEC fala, no entanto, em 8.043 vagas, sem observar os dados do IBGE. A PEC foi aprovada em primeiro turno e ainda deve passar por uma segunda votação no plenário da Câmara, para só depois seguir para a sanção presidencial. Durante uma hora e meia, parlamentares contrários e favoráveis à matéria ocuparam a tribuna da Câmara para debater o texto. O deputado Antônio Carlos Biscaia (PT-RJ) condenou a proposta que amplia as vagas de vereadores por iludir os suplentes. "Do jeito que está, essa PEC modificaria o resultado da eleição, o que é completamente inconstituicional. Não vamos iludir esses suplentes (vaias). Eles não serão diplomados pela Justiça Eleitoral. Isso é uma ilusão", afirmou, sob vaias, Biscaia. Já o deputado Fernando Coruja (PPS-SC) defendeu as propostas afirmando que a matéria só deve produzir efeito nas próximas eleições municipais, que devem ocorrer em 2012. "Nenhuma câmara municipal será obrigada a ampliar o número de vagas. A eleição ocorreu sobre um determinado número de cadeiras, nem a Justiça Eleitoral vai permitir que isso seja modificado", argumento Coruja. A PEC dos Vereadores foi aprovada no ano passado na Câmara e no Senado. Depois de sofrer modificações, o texto teve de retornar à Câmara. Durante a análise dos senadores foi retirado um artigo que determinava a redução do repasse de recursos das prefeituras para os legislativos municipais. Como uma parte da PEC foi aprovada sem modificações, ela poderia ser promulgada parcialmente. O então presidente da Câmara, Arlindo Chinaglia (PT-SP), no entanto, se recusou a assinar a promulgação por entender que os artigos estavam ligados e não poderiam ter sido desmembrados. Ele teve o respaldo da Mesa Diretora. A decisão foi mantida pelo novo presidente, Michel Temer (PMDB-SP).

O texto aprovado nesta quarta mantém as 24 faixas de números de vereadores aprovadas pela Câmara no ano passado, mas muda a fórmula de cálculo das despesas. O substitutivo do deputado Arnaldo Faria de Sá (PTB-SP), aprovado em comissão especial, não faz mudanças de mérito nas duas PECs, pois apenas reúne os dois textos em um só. O Senado enviou duas propostas porque, inicialmente, havia aprovado apenas o aumento de vereadores, desmembrando o texto da Câmara.

MEC reduz número de vagas em universidades com baixa avaliação

O Ministério da Educação (MEC) anunciou dia 3 de setembro que instituições e cursos superiores que obtiveram resultados insatisfatórios em suas avaliações vão sofrer uma série de medidas cautelares. Uma delas é o corte de 2,5 mil vagas em 80 cursos de graduação. Consulte aqui a lista de instituições que terão carteiras reduzidas. A qualidade das graduações é avaliada primeiramente pelo Conceito Preliminar de Curso (CPC), que vai de 1 a 5. Os cursos que obtêm nota 1 ou 2, consideradas insatisfatórias, recebem visita de comissões do MEC. Se a segunda avaliação, feita pelas comissões, confirmar um Conceito de Curso (CC) baixo, são aplicadas as medidas cautelares. A punição mais rigorosa irá para os cinco cursos que obtiveram conceito 1 após as visitas. Eles serão impedidos de realizar vestibular ou admitir novos estudantes por qualquer forma de ingresso (clique aqui). Após a publicação dessas decisões, as instituições terão que apresentar um plano para melhorar a qualidade do ensino ofertado nos cursos. Elas terão dez meses para sanar as deficiências e, em agosto, receberão uma nova visita. Se não forem comprovadas melhorias, abre-se um processo para cassar a autorização de funcionamento dos cursos. IGC Além das medidas tomadas com base na avaliação dos cursos, o MEC também vai arquivar 336 pedidos de abertura de novos cursos em instituições que registraram resultado insatisfatório no Índice Geral de Cursos (IGC) de 2008, que mede a qualidade de universidades e faculdades. Cerca de 260 instituições tiveram IGC 1 e 2 e serão enquadradas nessa medida. Já aquelas instituições que foram bem avaliadas e tinham algum pedido de abertura de novos cursos em tramitação no MEC terão autorização automática, sem necessidade de visitas.

Hino da Independência

Composto por D. Pedro I, em 1821. Em 1922, Evaristo da Veiga escreveu novos versos, que constituem a letra atual.

Já podeis, da Pátria filhos,
Ver contente a mãe gentil;
Já raiou a liberdade
No horizonte do Brasil.

Brava gente brasileira!
Longe vá temor servil!
Ou ficar a Pátria livre,
Ou morrer pelo Brasil.

Os grilhões que nos forjava
Da perfídia astuto ardil:
Houve mão mais poderosa,
Zombou deles o Brasil.

Brava gente, brasileira...

Não temais ímpias falanges
Que apresentam face hostil:
Vossos peitos, vossos braços
São muralhas do Brasil.

Brava gente, brasileira...

Parabéns, ó Brasileiros!
Já com garbo juvenil,
Do universo entre as nações
Resplandece a do Brasil.

Brava gente, brasileira!...


Nota: Lembro-me de qundo se cantava esse hino, na semana da independência em todas as escolas.

Adição, Subtração e Multiplicação de Números Complexos

Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição


Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Subtração


Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2
(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Multiplicação


Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2
(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)I.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i²
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

Progressões

      Progressão Aritmética (PA)é todo seqüência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante, essa diferença constante é chamada de razão da progressão.

Sejam as seqüências: (2, 6, 10, 14, 18, 22, ...) (30, 25, 20, 15, 10, 5, ...) 6 = 2+ 4 25 = 30+ (-5)     10 = 6+ 4 20 = 25+ (-5)     14 = 10+ 4 15 = 20+ (-5)     18 = 14+ 4 10 = 15+ (-5)     - Notamos nessas seqüências que o termo posterior é igual ao termo anterior somado de um número fixo. - Toda seqüência que tiver lei de formação chama-se Progressão Aritmética (PA). - A esse número fixo damos o nome de razão (r). Representação matemática: (a1, a2, a3, a4, a5, ... an-1, an, an+1, ...) r = a2 ? a3 r = a3 ? a2  r = an ? an-1 r = an+1 ? an Classificação: Uma PA pode ser: a.      crescente: (r > 0) - (2, 4, 6, 8, 10, ...)_ r = 2 b.      decrescente: (r < 0) - (7, 5, 3, 1, -1, -3, ...)_ r = -2 c.      constante: (r = 0) - (9, 9, 9, 9, ...) ·         Fórmula do termo geral de uma PA: (a1, a2, a3, ....., an-1, an)       a2 = a1 + r        a3 = a2 + r = a1 + 2r       .....      an = a1 + (n-1)r      an = termo geral n = n-ésimo termo      a1 = primeiro termo      r  = razão

         Expressões Gerais:

1)      ?n-ésimo?número par positivo: a_n = 2n   (n > 1)

2)      ?n-ésimo número ímpar positivo: a_n = 2n ? 1   ( n > 1)

3)      soma dos ?n?primeiros números pares positivos ? PA = ( 2,4,6,...2n): Sn = n (n +1)

⁴⁾        soma dos ?n?primeiros números ímpares positivos ? PA = (1,3,5,...,2n-1): Sn = n²

5)      Três números em PA
x - r, x, x + r

6)      Cinco números em PA
x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r

7)      Quatro números em PA
x - 3r, x - r, x + r, x + 3r

·         Interpolação Aritmética:
Interpolar significa inserir, intercalar meios aritméticos entre 2 números, formando assim uma P.A. .
X , __ , __ , __ , Y
- Se interpolarmos n meios entre 2 números, iremos obter uma P.A. de n + 2 termos;

·         Propriedades da P.A.:

1.       Numa P.A. ao considerarmos 3 termos consecutivos, o termo médio é a média aritmética dos outros 2; a_n = a_n-1 + a_n-1  /  2 

2.       Numa P.A. finita, a soma dos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos;
a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 = a₃ + a_n-2 = ...

·         Soma dos termos de uma P.A. Finita:

Sn = (a₁ + a_n ) n / 2

Onde a₁ é o primeiro termo, an o último termo, n é o número de termos e Sn é a soma dos n termos.

 
 

Exemplos:

 
 

1)   Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

 
 

Resolução: Observamos que o primeiro termo da PA é 25 e o último é 620, daí:

 
 

a_n = a₁ + (n-1)r

620 = 25 + (n-1)5

n = 120

 
 

2)   Três números estão em PA, de tal forma qu a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular  os três números.

 
 

Indiquemos (a₁, a₂, a₃) = (x-r ,x ,x+r)

1º número =  x ? r

2º número =  x

3º número =  x + r

 
 

Façamos um sistema com duas variáveis (x e r):

• (x - r) + x + (x + r) = 18
  
• (x - r).x.(x + r) = 66
  

Daí, x = 6, r = ± 5

Fazendo r = 5 teríamos (1 , 6 , 11)

Fazendo r = -5 teríamos (11 , 6 , 1)

Os números pedidos são 1, 6 e 11.

 
 

3)   Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a razão seja 4?

 
 

Resolução:

a_n = a₁ + (n-1)r

124 = 100 +4n ?4

n = 7

 
 

Como 7 é o número total de termos, devemos interpolar 7 ? 2 = 5 meios.

Resposta: 5 meios

 
 

4)   Resolver a equação 1 + 7 + ... + x = 280, sabendo que os termos do 1 termo formam uma PA.

 
 

Resolução: Na PA temos

a₁ = 1

a_n = x

S_n = 280

r = 6

 
 

Calculemos n usando a forma geral:

a_n = a₁ + (n-1)r

x = 1 + (n-1)6

n = (x +5)/6

 
 

Vamos substituir na fórmula da soma

Sn = (a₁ + a_n ) n / 2

280= (1 + x ) (x + 5) (1/6) (1/2)

x² + 6x ? 3355 = 0

daí,

x´=55

x´´=-61

Como a PA é crescente, x = 55

Resposta x = {55}

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Salvador Acorda Com Buzinaço e Recepção Festiva à Seleção Brasileira

O domingo começou cedo para os soteropolitanos. Às 6h30m, o avião fretado pela CBF pousou no aeroporto Luiz Eduardo Magalhães, em Salvador, e à espera da delegação, dezenas de torcedores ávidos por um autógrafo ou uma foto com os jogadores que classificaram o Brasil para mais uma Copa do Mundo. Menos de oito horas depois da vitória por 3 a 1 sobre a Argentina, em Rosário, os jogadores receberam as honrarias de heróis nacionais. No percurso até o hotel, a mini-carreata sonorizada por um buzinaço deu as boas-vindas para a partida contra o Chile, quarta-feira. Cansados, mas felizes, os atletas subiram rapidamente para os quartos e só devem ser acordados para o almoço, às 13h. Por enquanto, o treino dos reservas, às tarde, no estádio de Pituaçu está mantido. Na porta do hotel, no entanto, pelo menos 30 pessoas ainda aguardaram os ídolos. - Adriano, acorda. Vem me dar um abraço – gritou a torcedora Renata Gomes. Classificada com três rodadas de antecipação para o Mundial da África do Sul, em 2010, a seleção brasileira lidera as Eliminatórias com 30 pontos. No próximo jogo, o técnico Dunga terá o desfalque de quatro jogadores por suspensão: Lúcio, Ramires, Kaká e Luís Fabiano. Por ora, o quarteto continua concentrado com o restante do grupo.

P.G.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

     Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

    Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

 Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:   

a1	a2	a3	...	a20	...	an	...
a1	a1xq	a1xq2	...	a1xq19		a1xqn-1	...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

  Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

  Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

      A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

 
 

Soma dos n primeiros termos de uma PG

    Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n, vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n.q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n . q

Observe que a₂ + a₃ + ... + an é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a₁ = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

 

Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta  x = 50.

Desafio 21

Um homem tem dois relógios. Um deles não anda e o outro atrasa uma hora por dia. Qual deles mostrará mais freqüentemente a hora certa?

Solução Desafio 20

Depois de fumar 27 cigarros, Ana Carolina juntou os tocos de cigarro necessários para fazer 9 cigarros mais. Estes 9 cigarros deixaram tocos para fazer outros 3. Então com os utlimos 3 tocos de cigarro, fez um ultimo cigarro.
Total: 40 cigarros